Математик рассказывает о лотереях

Математика поможет подсчитать вероятность выигрыша и определить, что выгоднее: купить 10 лотерейных билетов на одну игру или по билету на 10 разных.
Денис Пешехонов
По образованию магистр-технарь, в жизни занимается разработкой программ и иногда строит математические модели для игр.

В американском сериале «4исла» (Numb3rs) главный персонаж — математик, помогающий ФБР в раскрытии преступлений. В одной из серий он произносит фразу о том, что вероятность быть убитым по пути за лотерейным билетом выше, чем вероятность выиграть в лотерею. В конце статьи я приведу расчёт, связанный с этим утверждением, а сейчас хочу немного рассказать о математике, стоящей за массовыми азартными играми, и о том, как она может помочь чуть повысить свои шансы.

Правило 1. Оценивайте риски

Для современного просвещённого человека не секрет, что казино и различные игорные заведения рассчитывают все свои игры так, чтобы всегда быть в выигрыше и иметь прибыль. Делается это очень просто: человеку нужно вернуть выигрыш, который соотносится с его ставкой в меньшую сторону по сравнению с его шансами выиграть.
Да, так или иначе, даже самые сложные математические модели в среднем сводятся к одному: если вы ставите 1 рубль, а вам предлагают получить 1 000 рублей, значит, ваш шанс выиграть — меньше, чем 1/1 000.
Исключений нет, если только кто-то специально не хочет подарить вам денег. Держите в голове это простое правило, чтобы всегда трезво смотреть на ситуацию.
Теория игр оценивает любую стратегию аналогично: вероятность получить выигрыш умножается на его размер. Грубо говоря, математика считает, что гарантированно получить 1 000 рублей — это как получить 2 000 рублей с 50-процентным шансом. Этот принцип даёт вам возможность грубо сравнивать различные игры между собой. Что лучше: миллион долларов с шансом 1/100 000 или 50 долларов с шансом 1/4? Интуитивно кажется, что первое предложение интереснее, но математически выгоднее второе.
Если оставаться в рамках одной лишь математики, можно вычислить: выиграть в казино невозможно, ведь любая выбранная стратегия приводит к тому, что произведение вероятности победы на размер выплаты для игрока всегда ниже ставки, которую он уже сделал.
Однако люди играют потому, что выигрыш для них заключается не только в деньгах, но ещё и в эмоциях от процесса — и уж тем более от победы.
А ещё потому, что деньги для нас нелинейны: формально получить 1 рубль прямо сейчас — это как получить миллион рублей с шансом 1/1 000 000, но по факту потеря рубля никак не скажется на нашем состоянии, в жизни не изменится совершенно ничего, а вот получение миллиона — очень серьёзное событие.

Правило 2. Играйте в открытую

К сожалению, проникнуть на внутреннюю кухню лотереи мы не можем. Но полезно понимать хотя бы формальную процедуру того, как именно идёт розыгрыш.
Например, знаменитые игровые автоматы «Однорукий бандит» и другие слот-машины — это на самом деле немного обман: на колесе, которое видит игрок, нарисованы символы различной стоимости, но при этом всё устроено так, чтобы игрок подумал, будто шансы выпадения каждого символа одинаковые. На самом деле (в старых автоматах — механически, а в современных — с помощью программы) за каждым видимым колесом скрывается настоящее, на котором ценные символы встречаются редко, а дешёвые – часто.
Шансы выпадения 777 на слот-машине ниже, чем вероятность получить какие-нибудь три вишни, причём отличие может быть в десятки раз.
«Открытые» лотереи в этом смысле гораздо честнее. В США распространён формат, когда билет либо содержит в себе последовательность чисел, либо она выбирается покупателем самостоятельно. В России, например, предпочитают формат лото: на билете расположены несколько линий чисел, и нужно закрыть или одну из них (обычная победа), или все (джекпот). В теории проводящая лотерею фирма может «специально» печатать и продавать невыигрышные билеты, а потом подтасовывать порядок шаров, но на практике крупные компании этого не делают: организаторы лотереи и так всегда в выигрыше, а скандал в случае вскрытия недобросовестности будет огромен.
Если вы намерены сыграть в азартную игру, полезно будет понять её механику и убедиться в отсутствии влияния заинтересованных лиц на результаты.

Правило 3. Знайте свои шансы

Вероятность джекпота в любой лотерее считается, как правило, одной формулой. А вот расчёт вероятности, например, закрыть в лото хоть одну строчку весьма нетривиален и занял бы целую статью, а может, и не одну. Поэтому на самом деле шанс получить какие-то деньги в лотерее выше за счёт того, что в большинстве лотерей есть дополнительные призы помимо главного. Но я остановлюсь именно на джекпоте для простоты оценки.
Допустим, мы купили лотерейный билет со случайным набором чисел. Во время розыгрыша вытаскивают столько же шаров, и если числа на них совпали с числами в билете (в любом порядке, это важно!), то мы выиграли. Вероятность такого выигрыша рассчитывается так:
Вероятность выигрыша = 1 ÷ Количество комбинаций шаров.
Количество комбинаций без учёта порядка называется в математике числом сочетаний, и если формула для его расчёта вам известна и понятна, то из этой статьи вы, скорее всего, не узнаете ничего нового. Если вы не математик, то проще будет воспользоваться онлайн-сервисом, например вот этим. Подобные сервисы (и формула, лежащая в основе их работы) предлагают задать два числа:
n — общее количество возможных вариантов одного предмета. В нашем случае предмет — это шар, а всего шаров столько, сколько чисел в лотерее, об этом ниже.
k — количество предметов в одной выборке. В нашем случае — сколько шаров лотерея разыгрывает и сколько при этом чисел в билете (предполагается, что эти величины равны).
Итак, если у нас есть лотерея с розыгрышем 5 шаров, а всего в лотерее 50 шаров с числами от 1 до 50, то вероятность выиграть в неё будет равна единице к числу сочетаний при k = 5 и n = 50, то есть:
1 ÷ 2 118 760 = 0,00005 %.
Рассмотрим более сложный случай — популярную американскую лотерею PowerBall, в которой величина джекпота превышала миллиард долларов. По правилам есть базовая выборка из 5 чисел (от 1 до 69), а также одно дополнительное число (от 1 до 26). Нужно получить совпадение всех 6 чисел, чтобы выиграть.
Несложно понять, что шанс получить первый набор равен единице к числу сочетаний при k = 5 и n = 69 (то есть 11 238 513), а шанс «поймать» последний шар — 1 к 26. Чтобы получить всё сразу, эти шансы нужно умножить, потому что события должны произойти одновременно:
(1 ÷ 11 238 513) × (1 ÷ 26) = 1 ÷ 292 201 338 = 0,0000003%.
Иными словами, если 300 миллионов человек купят билеты, то выиграет кто-то один. Это показывает, почему выигрыш джекпота зачастую вообще не состоится: организаторы лотереи просто не печатают так много билетов, чтобы среди них попался выигрышный.

Правило 4. Вовремя начинайте

Лотерейный билет PowerBall, кстати, стоит 2 доллара. Чтобы подсчитать выгоду, которая окупила бы покупку билета, нужно умножить цену билета на 292 201 338.
Подробнее о расчётах. Это отсылка к первому пункту, где говорится о том, что выгода от решения равна его ценности, умноженной на вероятность. Если у нас есть событие с вероятностью 1/X и ценностью N, то выгода будет N/X. Мы тратим 2 доллара и можем подсчитать, какого размера выигрыш окупил бы покупку билета:
2 = N ÷ X.
N = 2 × X, а X тут как раз равен 292 201 338, как показали расчёты из предыдущей части.
Ещё надо учесть налоги (узнать, какой процент от заявленной суммы фактически достанется победителю, обычно это около 70%). То есть джекпот должен составлять как минимум 850 миллионов долларов, и такое в этой лотерее бывает. Как же так, я ведь в начале сказал, что выигрыш при таком умножении всегда не в пользу игрока?
Дело в том, что если розыгрыш джекпота не состоялся, то он переходит на следующий раз, и поэтому какое-то время деньги копятся, а продажи билетов продолжаются.
В идеальной ситуации вам нужно пропускать все игры, не покупая билет, а потом купить именно на ту игру, в которой розыгрыш действительно состоится.
Но узнать это заранее невозможно. Однако можно начать покупать билеты, как только размер джекпота станет больше упомянутой суммы. В такой ситуации математически игра будет выгодной.
Ещё можно понять, что выгоднее: купить много билетов на одну игру или покупать по одному билету на много игр? Давайте подумаем.
В теории вероятностей есть понятие несвязанных событий. Это означает, что исход одного события никак не влияет на исход другого. Например, если вы кидаете два кубика, то выпадения чисел на них не связаны между собой: с точки зрения случайности, один кубик не влияет на поведение второго. А вот если вы тянете из колоды две карты, то эти события связаны, ведь от первой карты зависит то, какие карты останутся в колоде.
Популярное заблуждение по этому поводу так и называется — ошибка игрока. Оно возникает из-за интуитивного представления человека о связанности несвязанных событий.
Например, если монета много раз подряд выпадает орлом, то мы склонны считать, что шансы выпадения решки из-за этого увеличатся, но на самом деле это не так, шансы всегда одинаковые.
Возвращаясь к лотереям: разные игры — это несвязанные события, потому что последовательность шаров выбирается заново. Так что шансы выиграть в любую конкретную лотерею никак не зависят от того, сколько раз раньше вы в неё играли. Это очень сложно принять интуитивно, потому что человек каждый раз, покупая билет, думает: «Ну вот сейчас-то повезёт, сколько можно, я уже кучу времени играю!» Но нет, теория вероятностей — бессердечная штука.
А вот покупка нескольких билетов для одной игры увеличивает ваши шансы пропорционально, потому что билеты внутри одной игры связаны: если выиграет один, значит другой (с другой комбинацией) точно не выиграет. Покупка 10 билетов увеличивает шансы в 10 раз, если все комбинации на билетах разные (по факту почти всегда так и есть). Иными словами, если у вас есть деньги на 10 билетов, лучше купить их на одну игру, чем покупать по билету на 10 игр.
Если вы просто с зарплаты раз в месяц берёте билетик азарта ради, то, скорее всего, значение для вас имеет сам процесс игры. Математически выгоднее скопить эти деньги и в конце года купить сразу 12 билетов, хотя, конечно, проигрыш в такой ситуации будет восприниматься более сокрушительно.

Правило 5. Вовремя останавливайтесь

Ну и напоследок хочу сказать, что даже вероятность 1/100 с точки зрения отдельного человека — это очень мало. Если вы проверяете такую вероятность раз в месяц, то 100 таких проверок сделаете за 8 лет. Представьте себе, во сколько раз ниже вероятность 1/1 000 000 или 1/100 000 000? Поэтому ставьте всегда только ту сумму, которую не боитесь полностью потерять, и ни рублём больше.
В заключение, как обещал, приведу оценку утверждению из начала статьи. Эти данные для США, потому что утверждение было сформулировано именно для этой страны, к тому же мы выше уже посчитали шансы для американской лотереи.
По статистике, за 2016 год в США было совершеноCrime in the US — 2016 около 17 000 убийств, будем считать это средней цифрой. А ещё предположим, что человек является потенциальной целью для убийства, когда он уже взрослый, но не старый — то есть около 50 лет в течение своей жизни. Значит, за эти 50 лет будет совершено около 850 000 убийств. Население США составляетUnited States Population 325,7 миллиона человек, то есть шансы попасть в случайную выборку размером 850 000 такие:
850 000 ÷ 325 700 000 = 1 ÷ 383 = 0,3%.
Но погодите, это просто шанс быть убитым. А именно по пути за лотерейным билетом? Предположим, вы выходите из дома на работу каждый будний день, в один выходной куда-то выбираетесь, а в другой остаётесь дома. В среднем получается 6 дней в неделю, или около 26 дней в месяц. И один раз в месяц вы покупаете лотерейный билет. Поэтому полученные числа нужно ещё и разделить на 26:
(1 ÷ 383) ÷ 26 = 1 ÷ 9 958 = 0,01%.
И даже при такой грубой оценке это существенно вероятнее, чем выигрыш. Если точнее, то в 30 000 раз вероятнее. На самом деле, конечно, числа будут другие: человек подвергается опасности не только на улице, одни люди больше рискуют, чем другие, женщин убивают почти в четыре раза реже, чем мужчин. Но принцип такой.
Хотя жить без веры в хорошие события и с постоянным ожиданием плохих, даже зная математику, — это не самый лучший выбор.